Question

7．如图，边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=2BE，已知F是CE的中点，将△CDF沿着DF翻折至△GDF，连接BG，则S_{四边形BFDG}=$\frac{228}{17}$．

Answer 1

分析 如图，连接CG交DF于M、作FN⊥BC于N，FP⊥DC于P，FH⊥BG于H．则四边形FNCP是矩形，在△DFC中，求出高CM，FP，由△CMD∽△BHF，得$\frac{CD}{BF}$=$\frac{CM}{BH}$=$\frac{DM}{FH}$，可以求出FH，BH，BG，再根据S_{四边形BFDG}=S_△BFG+S_△DGF计算即可解决问题．

解答 解：如图，连接CG交DF于M、作FN⊥BC于N，FP⊥DC于P，FH⊥BG于H．则四边形FNCP是矩形，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠ABC=∠BCD=90°，
∵AE=2BE，
∴AE=4，BE=2，
∵FN∥AB，EF=FC，
∴NB=CN=FP=3，FN=$\frac{1}{2}$EB=PC=1，
∴PD=5，DF=$\sqrt{F{P}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{34}$，CF=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵DG=DC，FG=FC，
∴DF⊥CG，
∵$\frac{1}{2}$CD•FP=$\frac{1}{2}$•DF•CM，
∴CM=$\frac{9\sqrt{34}}{17}$，DM=$\sqrt{D{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\frac{15\sqrt{34}}{17}$，
在Rt△BCE中，EC=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵EF=FC，
∴BF=EF=FC=FG=$\sqrt{10}$，
∴∠FBC=∠FCB，∠FGC=∠FCG，
∵∠BFE=∠FBC+∠FCB，∠EFC=∠FGC+∠FCG，
∴∠BFG=2∠BCG，
∵BF=FG，FH⊥BG，
∴∠BFH=∠GFH=∠BCG，BH=HG，
∵∠HBF+∠BFH=90°，∠BCG+∠DCG=90°，
∴∠DCM=∠FBH，∵∠CMD=∠FHB，
∴△CMD∽△BHF，
∴$\frac{CD}{BF}$=$\frac{CM}{BH}$=$\frac{DM}{FH}$，
∴$\frac{6}{\sqrt{10}}$=$\frac{\frac{9\sqrt{34}}{17}}{BH}$=$\frac{\frac{15\sqrt{34}}{17}}{FH}$，
∴BH=$\frac{3\sqrt{340}}{34}$，FH=$\frac{5\sqrt{170}}{34}$$\frac{5\sqrt{340}}{34}$，
∴BG=2BH=$\frac{3\sqrt{340}}{17}$，
∴S_{四边形BFDG}=S_△BFG+S_△DGF=$\frac{1}{2}$•$\frac{3\sqrt{340}}{17}$•$\frac{5\sqrt{340}}{34}$•+$\frac{1}{2}$×6×3=$\frac{228}{17}$．
故答案为$\frac{228}{17}$．

点评 本题考查翻折变换、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考