Question

【题目】如图，矩形中，，点在边上，过点作的平行线，交于点，易得矩形．将矩形绕着点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，点的对应点落在边上，的对应边交于点．

（1）求证：；（提示：连接，）

（2）当旋转角为30°时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2），

【解析】

（1）连接EB，EN，由旋转的性质和等腰三角形的性质可证HE=NF，从而根据“AAS”可证△NGF≌△EGH，进而可证GF=GH；

（2）由旋转的性质和余角的性质可证，然后在Rt△DEM中求出DE、DM的值，根据求出CM的长，然后在Rt△CMN中求出CN的长即可．

（1）证明：如图，连接，

∵矩形，

∴，，

∴，，

∵四边形是由矩形绕着点逆时针旋转得到，

∴，，，

∴，，

∴，

在中，

，

∴，

∴；

（2）解：∵四边形是矩形，，

∴，

∵四边形HNME是矩形，

∴∠EMN=∠MEH=90°，

∴，

∴∠DME=∠AEH，

同理可求：∠DME=∠CNM，

∵旋转角为30°，

∴，

∴，

同理：，

∴，

∴．