Question

15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴正半轴与y轴正半轴上，线段OA，OB（OA＜OB）的长是方程x（x-4）+8（4-x）=0的两个根，作线段AB的垂直平分线交y轴于点D，交AB于点C．
（1）求线段AB的长；
（2）求tan∠DAO的值；
（3）若把△ADC绕点A顺时针旋转α°（0＜α＜90），点D，C的对应点分别为D₁，C₁，得到△AD₁C₁，当AC₁∥y轴时，分别求出点C₁，点D₁的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据方程的解求得线段OA，OB的长，再根据勾股定理求得AB的长；
（2）先根据线段垂直平分线的性质，得到AD=BD，再根据Rt△AOD中的勾股定理，求得OD的长，并计算tan∠DAO的值；
（3）先根据旋转的性质，求得AC₁和C₁D₁的长，再根据OA=4，AC₁∥y轴，求得点C₁和点D₁的坐标．

解答 解：（1）由方程x（x-4）+8（4-x）=0，解得
x₁=4，x₂=8，
即OA=4，OB=8，
∴由勾股定理可得AB=$4\sqrt{5}$

（2）∵CD为AB的垂直平分线，
∴AD=BD
∵在Rt△AOD中，OD²+OA²=AD²
即OD²+4²=（8-OD）²，
∴OD=3
∴$tan∠OAD=\frac{3}{4}$

（3）由旋转可得，AC₁=AC=2$\sqrt{5}$，C₁D₁=CD=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$
又∵OA=4，AC₁∥y轴
∴C₁（4，$2\sqrt{5}$），D₁（$4-\sqrt{5}$，$2\sqrt{5}$）

点评 本题主要考查了几何变换中的旋转变换，掌握线段垂直平分线的性质以及利用勾股定理列出方程是解题的关键．在图形旋转时，旋转前、后的图形全等，即对应边相等，对应角也相等．