Question

14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在四边形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．
（1）写出图中所有的相似三角形（除全等外）；
（2）选择其中的一对相似三角形，加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据图形即可得到图中所有的相似三角形；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似，即可得到△ABG∽△BFE．

解答 解：（1）在不添加字母的情况下，图中所有的相似三角形：
△DAB∽△DGE∽△BGF，△ABG∽△BFE；

（2）选择：△ABG∽△BFE．
证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EGB，
∴∠AEB=∠BEG，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
∴△FEB为等腰三角形．
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，
∴∠ABG=∠EFB，
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，
∴∠BAG=∠FBE，
∴△ABG∽△BFE．

点评 本题综合考查了相似三角形的性质与判定以及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．解决问题的关键是掌握：有两组角对应相等的两个三角形相似．