Question

9．如图，△ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=4，BC=3，反比例函数y=-$\frac{4}{3x}$（x＜0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．设点E、D的横坐标分别为a、b，连结DE，当△BDE∽△BCA时，a、b的关系式为b=$\frac{1}{a}$．

Answer 1

分析 根据题意表示出E与D坐标，由AC与BC的长表示出C，B，A的坐标，设直线AB解析式为y=kx+m，把A与B坐标代入表示出k与m，进而表示出直线AB解析式，由三角形BDE与三角形BCA相似，得到DE与AB垂直，过点D作x轴的垂线，过点E作y轴的垂线，两线交于点H，如图所示，得到三角形EHD与三角形BCA相似，表示出HE与HD的关系式，即可得出a与b的关系式．

解答 解：∵∠BCA=90°，反比例函数y=-$\frac{4}{3x}$（x＜0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，点E、D的横坐标分别为a、b，
∴E（a，-$\frac{4}{3a}$），D（b，-$\frac{4}{3b}$），
∵AC=4，BC=3，
∴C（a，0），B（a，3），A（4+a，0），
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（4+a）k+m=0}\\{ak+m=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{m=3+\frac{3}{4}a}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3+$\frac{3}{4}$a，
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴AB⊥DE，
过点D作x轴的垂线，过点E作y轴的垂线，两线交于点H，如图所示，
∴△EHD∽△BCA，
∴HE=$\frac{3}{4}$HD，即b-a=$\frac{3}{4}$（$\frac{4}{3a}$-$\frac{4}{3b}$），
∴b=$\frac{1}{a}$．
故答案为：b=$\frac{1}{a}$

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．