Question

20．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y=12，得：y=$\frac{12-2x}{3}$=4-$\frac{2}{3}$x（x、y为正整数）．要使y=4-$\frac{2}{3}$x为正整数，则$\frac{2}{3}$x为正整数，由2，3互质，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入y=4-$\frac{2}{3}$x=2．所以2x+3y=12的正整数解为$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}$
问题：
（1）请你直接写出方程3x-y=6的一组正整数解$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$．
（2）若$\frac{12}{x-3}$为自然数，则满足条件的正整数x的值有B个．
A．5           B．6           C．7           D．8
（3）七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买为单价3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有几种购买方案，写出购买方案？

Answer 1

分析 （1）求方程3x-y=6的正整数解，可给定x一个正整数值，计算y的值，如果y的值也是正整数，那么就是原方程的一组正整数解．
（2）参照例题的解题思路进行解答；
（3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支．则根据题意得：3m+5n=48，其中m、n均为自然数．解该二元一次方程即可．

解答 解：（1）由3x-y=6，得
y=3x-6，
要使y是正整数，则3x-6是正整数，所以需要x＞2，
故当x=3时，y=3，
所以3x-y=6的一组正整数解可以是：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$．
故答案是：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$；

（2）若$\frac{12}{x-3}$是自然数，则满足条件的正整数x有4，5，6，7，9，15共6个，
故答案是：B；

（3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支．
则根据题意得：3m+5n=48，其中m、n均为自然数．
于是有：n=$\frac{48-3m}{5}$，
则有：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{48-3m}{5}＞0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，
解得：0＜m＜16．
由于n=$\frac{48-3m}{5}$为正整数，则48-3m为正整数，且为5的倍数．
∴当m=1时，n=9；
当m=6时，n=6，
当m=11时，n=3．
答：有三种购买方案：即购买单价为3元的笔记本1本，单价为5元的钢笔9支；
或购买单价为3元的笔记本6本，单价为5元的钢笔6支；
或购买单价为3元的笔记本11本，单价为5元的钢笔3支．

点评 本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数．