Question

10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段AB=2$\sqrt{5}$，且AO=2BO，点C为y轴上的一点，点B是线段OC的中点．
（1）求C点的坐标；
（2）动点P从点A出发，沿射线AO方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，运动时间为t，过点P作垂直于x轴的直线分别交射线AB和射线AC于点E和点F，设线段EF的长为d，用含t的代数式表示d；
（3）在（2）的条件下，当d=1时过点B和点C分别作x轴的平行线m和n，连接PB并延长PB交直线n于点Q，过点Q作QR⊥PQ，交直线m于R，在平面内是否存在点H，使以P、Q、R、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出此时点R和点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设OB=a，AO=2a，利用勾股定理列出方程即可解决问题．
（2）求出直线AB、AC的解析式，根据点P坐标即可解决问题．
（3）先求出点P、R坐标，再根据平行四边形的性质求出点H坐标即可．

解答 解；（1）∵AO=2OB，设OB=a，AO=2a，
∵OA²+OB²=AB²，
∴5a²=20，
∴a²=4，
∵a＞0，
∴a=2，
∴OA=4，OB=2，OC=4，
∴点C坐标（0，4）．

（2）∵直线AC解析式为y=x+4，直线AB解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
∵点P坐标（-4+2t，0），
∴EF=-4+2t+4-[$\frac{1}{2}$（-4+2t）+2]=t，
∴d=t．

（3）存在．如图，∵t=1，
∴AP=2，PO=2，
∴点P坐标（-2，0），
∴直线PB解析式y=x+2，
∴点Q坐标（2，4），
∴CQ=BC=2，
∴∠CBQ=∠QBR=45°，
∵∠BQR=90°，
∴△BQR是等腰直角三角形，
∴BQ=QR=2$\sqrt{2}$，
∴BR=$\sqrt{2}$BQ=4
∴点R坐标（4，2），
∵P、Q、R、H为顶点的四边形是平行四边形，
∴由PR中点G坐标（1，1），可知点H₁坐标（-2.0），
由PQ中点B（0，2），可知点H₂（-4，2），
由RQ中点H（3，3），可知点H₃（8，6），
综上所述点R的坐标（4，2）和点H的坐标为（-2，0）或（-4，2）或（8，6）．

点评 本题考查四边形综合题、一次函数、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．