Question

12．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过Rt△AOB直角边AB上的三等分点C，与斜边OA相交于点M，则$\frac{OM}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 A（a，3b），M（m，n），则C（a，b）或（a，2b），作MN⊥OB于N．分两种情形求解即可．

解答 解：设A（a，3b），M（m，n），则C（a，b）或（a，2b），作MN⊥OB于N．

∵MN∥AB，
∴$\frac{ON}{OB}$=$\frac{MN}{AB}$=$\frac{OM}{OA}$，
∴$\frac{n}{3b}$=$\frac{m}{a}$，
∴n=$\frac{3bm}{a}$，
①当C（a，b）时，∵M、C在y=$\frac{k}{x}$上，
∴ab=$\frac{3b{m}^{2}}{a}$，
∴a=$\sqrt{3}$m，
∴$\frac{OM}{OA}$=$\frac{ON}{OB}$=$\frac{m}{\sqrt{3}m}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
②当C（a，2b）时，∵M、C在y=$\frac{k}{x}$上，
∴2ab=$\frac{3b{m}^{2}}{a}$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$m，
∴$\frac{OM}{OA}$=$\frac{ON}{OB}$=$\frac{m}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}m}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
综上所述，$\frac{OM}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查反比例函数的应用、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．