Question

10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四边形AEBD是菱形；
（2）连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y=$\frac{k}{x}$，把点E坐标代入求出k的值即可．

解答 （1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，
∴DA=$\frac{1}{2}$AC，DB=$\frac{1}{2}$OB，AC=OB，
∴DA=DB，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示：
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA=3，OC=2，
∴EF=DF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，AF=$\frac{1}{2}$AB=1，3+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴点E坐标为：（$\frac{9}{2}$，1），
设经过点E的反比例函数解析式为：y=$\frac{k}{x}$，
把点E（$\frac{9}{2}$，1）代入得：k=$\frac{9}{2}$，
∴经过点E的反比例函数解析式为：y=$\frac{9}{2x}$．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果．