题目内容
【题目】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为
，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为
．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使
的面积是矩形MNHG面积的
？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）最大值为10
（3）故点P坐标为：
或
或
．
【解析】
（1）二次函数表达式为：
，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG的周长
，即可求解；
（3）
，解得：
，即可求解．
（1）二次函数表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：
，解得：
，
故函数表达式为：
…①；
（2）设点M的坐标为
，则点
，
则
，
，
矩形MNHG的周长，
∵
，故当
，C有最大值，最大值为10，
此时
，点
与点D重合；
（3）
的面积是矩形MNHG面积的
，
则
，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即
，
过点P作
于点K，
将
、
坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：
，
，∴
，
，
设点
，则点
，
，
解得：，
则
，
解得：
，
故点
，
直线n的表达式为：
…②，
联立①②并解得：
，
即点
、
的坐标分别为
、
；
故点P坐标为：
或或．
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