Question

C为线段AB上的点，DA、EB、CF均垂直于AB，且DA=CB，EB=AC，CF=AB．求证：∠AFD=∠BFE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接BD，AE，易证Rt△DAB≌Rt△BCF和Rt△EBA≌Rt△ACF，即可得△BDF和△AEF为等腰直角三角形，即可求得∠AFE=∠BFD，即可解题．

解答：证明：连接BD，AE，

∵在Rt△DAB和Rt△BCF中，

AD=BC AB=CF

，
∴Rt△DAB≌Rt△BCF，（HL）
∴BD=BF，∠DBA=∠BFC，
∵∠BFC+∠FBA=90°，
∴∠DBA+∠FBA=90°，即BD⊥BF，
∴△BDF为等腰直角三角形，∠BFD=45°，
∵在Rt△EBA和Rt△ACF中，

EB=AC CF=AB

，
∴Rt△EBA≌Rt△ACF，（HL）
∴AE=AF，∠EAB=∠AFC，
∵∠FAB+∠AFC=90°，
∴∠EAB+∠FAB=90°，即AE⊥AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，∠AFE=45°
∴∠AFE=∠BFD，
即∠BFD-∠EFD=∠AFE-∠EFD
∴∠AFD=∠BFE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证Rt△DAB≌Rt△BCF和Rt△EBA≌Rt△ACF是解题的关键．