Question

15．如图，平面直角坐标系中，直线l：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴负半轴上，且∠ACB=30°．
（1）求A，C两点的坐标．
（2）若点M从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，求出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线方程易得点A的坐标．在直角△BOC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，利用勾股定理求出OC的长，确定出C的坐标即可；
（2）先求出∠ABC=90°，分两种情况考虑：当M在线段BC上；当M在线段BC延长线上；表示出BM，利用三角形面积公式分别表示出S与t的函数关系式即可；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，分两种情况，如图所示，利用菱形的性质求出AQ的长，根据AQ与y轴平行得到Q与A横坐标相同，求出满足题意Q得坐标即可．

解答 解：（1）当x=0时，y=$\sqrt{3}$；当y=0时，x=1．
∴点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，$\sqrt{3}$），
在Rt△BOC中，∠OCB=30°，OB=$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$．
∴OC=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3．
∴点C坐标为（-3，0）．                                        

（2）如图1所示：∵OA=1，OB=$\sqrt{3}$，AB=2，
∴∠ABO=30°，
同理：BC=2$\sqrt{3}$，∠OCB=30°，
∴∠OBC=60°，
∴∠ABC=90°，
分两种情况考虑：若M在线段BC上时，BC=2$\sqrt{3}$，CM=t，可得BM=BC-CM=2$\sqrt{3}$-t，
此时S_△ABM=$\frac{1}{2}$BM•AB=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$-t）×2=2$\sqrt{3}$-t（0≤t＜2$\sqrt{3}$）；
若M在BC延长线上时，BC=2$\sqrt{3}$，CM=t，可得BM=CM-BC=t-2$\sqrt{3}$，
此时S_△ABM=$\frac{1}{2}$BM•AB=$\frac{1}{2}$×（t-2$\sqrt{3}$）×2=t-2$\sqrt{3}$（t≥2$\sqrt{3}$）；
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}-t（0≤t＜2\sqrt{3}）}\\{t-2\sqrt{3}（t≥2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$；

（3）P是y轴上的点，在坐标平面内存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，
如2图所示，
当P在y轴正半轴上，四边形ABPQ为菱形，①可得AQ=AB=2，且Q与A的横坐标相同，
此时Q坐标为（1，2），②AP=AQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，Q与A的横坐标相同，此时Q坐标为（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
当P在y轴负半轴上，四边形ABPQ为菱形，①可得AQ=AB=2，且Q与A横坐标相同，
此时Q坐标为（1，-2），②BP垂直平分AQ，此时Q坐标为（-1，0），
综上，满足题意Q坐标为（1，2）、（1，-2）、（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）、（-1，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．