Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DE于F．设CD=x．
（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于3？

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由题意知四边形EACF为平行四边形，欲使其为菱形，需要CF=AC=3．根据相似三角形△BDE∽△CDF的对应边成比例求得

BE

CF

=

BD

CD

，把相关线段的数据代入可以求得CD的长度；
（2）根据梯形面积公式列出关于x的方程，通过解方程求得x的值．

解答：解：（1）由题意知四边形EACF为平行四边形，欲使其为菱形，需要CF=AC=3．
∵∠ACB=90°，AC=2，BC=3，
∴由勾股定理得：AB=5．
又AE=CF=3，故BE=2．
∵CF∥AB，
∴△BDE∽△CDF，
∴

BE

CF

=

BD

CD

，即

4-x

x

=

2

3

，
解得 x=

12

5

，
即当x=

12

5

时四边形EACF为菱形；

（2）∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，
∴

DE

CA

=

BD

BC

，
∴

DE

3

=

4-x

4

，
解得：DE=3-

3

4

x
由S=

1

2

（AC+ED）•DC=

1

2

×（3-

3

4

x+3）x=3，
解得 x₁=4+2

2

（不合题意舍去），x₂=4-2

2

，
所以 x=4-2

2

时，四边形EACF面积为3．

点评：本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．此题利用了菱形的邻边相等的性质．