Question

6．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，sinD=$\frac{3}{5}$，求线段AF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到OD=5，AD=8．根据圆周角定理得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OC，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
∵∠DCB=∠BAC=∠1．
∴∠DCB+∠3=90°．
∴OC⊥DF．
∴DF是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OCD中，OC=3，sinD=$\frac{3}{5}$．
∴OD=5，AD=8．
∵$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，
∴∠2=∠4．
∴∠1=∠4．
∴OC∥AF．
∴△DOC∽△DAF．
∴$\frac{OC}{AF}=\frac{OD}{AD}$．
∴AF=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．