题目内容
【题目】 如图，
中，
，动点
从
出发，以每秒
个单位长度的速度向终点
运动，过点作
交
于点
，过点作的平行线，与过点且与垂直的直线交于点
，设点的运动时间为
(秒)
（1）用含的代数式表示线段
的长；
（2）求当点落在
边上时t的值；
（3）设
与重合部分图形的面积为
(平方单位)，求与的函数关系式；
（4）连结
，若将
沿它自身的某边翻折，翻折前后的两个三角形形成菱形，直接写出此时的值.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
或
或
.
【解析】
（1）由题意可得DF⊥AC，EF⊥AB，DE∥AB，然后利用同角的余角相等可得∠DFE=∠A，进而证明△ADF∽△FED，推出
，然后根据△ADF∽△ACB，可分别用含t的式子表示出DF、AF，然后可得DE；
（2）当点
落在
边上时，易得△ADF∽△DCE，列出比例式求出DC=2t，然后根据AC=20列方程求出t即可；
（3）当
时，
，利用三角形面积公式求解即可；当
时，
，作EH⊥AC交AC的延长线于点H，EF交BC于N，DE交BC于M，利用平行线分线段成比例定理求出NM，根据梯形面积公式求解即可；
（4）根据沿它自身的某边翻折，翻折前后的两个三角形形成菱形，可知此时
为等腰三角形，然后分情况讨论：①当DE=CE时，②当DC=CE时，③当DE=DC时，分别列出方程求t的值即可.
解：（1）由题意可知：DF⊥AC，EF⊥AB，DE∥AB，
∴∠ADF=90°，∠EFA=90°，
∴∠DEF=90°，∠DFA+∠DFE =90°，
∵∠DFA+∠A =90°，
∴∠DFE=∠A，
∵∠DEF=∠ADF=90°，
∴△ADF∽△FED，
∴，
∵∠C＝90°，
易得△ADF∽△ACB，
∵AC=20，BC=10，
∴AB=
，
∴
，
，
又∵AD=10t，
∴DF=5t，AF=
，
∴
，
∴DE=
；
（2）当点落在边上时，
∵DE∥AB，
∴△ADF∽△DCE，
∴
，
由（1）可知：DE=，AF=，AD=10t，
∴DC=2t，
∴10t+2t=20，
解得：；
（3）∵DE=，
∴EF=2DE=
，
∴当时，
；
当D到达C点时，t=20÷10＝2，
∴当时，，
如图，作EH⊥AC交AC的延长线于点H，EF交BC于N，DE交BC于M，
同（2）可得DH=2t，
∴CH=10t+2t-20=12t-20，DC=20-10t，
∵BC∥DF，
∴
，
∵BC∥EH，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
综上所述：
；
（4）根据沿它自身的某边翻折，翻折前后的两个三角形形成菱形，可知此时为等腰三角形，
①当DE=CE时，如图，作EH⊥DC于点H，
由（3）可得DH=2t，
∴DC=4t，
∴10t+4t=20，
解得：；
②当DC=CE时，如图，作EH⊥AC交AC的延长线于点H，连接CE，
由（3）可知：DE=，DH=2t，CH=12t-20，DC=20-10t，
∴EH=t，
由勾股定理得：(12t-20)2+t2=(20-10t)2，
解得：；
③当DE=DC时，
∵DE=，DC=20-10t，
∴
，
解得：，
综上所述，当或或时，将沿它自身的某边翻折，翻折前后的两个三角形形成菱形.
