Question

15．（1）在下面的横线上填（“＜”“＞”或“=”）．
∵$\sqrt{3}-\sqrt{2}$=$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，$\sqrt{2}-\sqrt{1}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}$，∴$\sqrt{3}-\sqrt{2}$＜$\sqrt{2}-\sqrt{1}$．
∵$\sqrt{4}-\sqrt{3}$=$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$，$\sqrt{3}-\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，∴$\sqrt{4}-\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}-\sqrt{2}$．
（2）请你猜想$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$与$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$（n大于1的整数）的大小关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据分子相同时，分母越大，这个数越小进行判断即可；
（2）根据例题进行计算即可．

解答 解：（1）∵分子相同时，分母越大，这个数越小，
∴$\sqrt{3}-\sqrt{2}$＜$\sqrt{2}-\sqrt{1}$；$\sqrt{4}-\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}-\sqrt{2}$．
（2）$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$＜$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$
证明：$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$；$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$；
∵$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$＜\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$，
∴$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$＜$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．

点评 本题主要考查的是比较实数的大小，明确分子相同时，分母越大，这个数越小是解题的关键．