Question

11．腰长为6的等腰直角△ABC中，D是BC上的一动点（不与BC重合），过点D作AB，
AC的垂线，垂足为E，F．
（1）证明：△BDE∽△CDF；
（2）设BD=x，四边形AEDF的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时y最大？y的最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AB=AC，∠A=90°，∠B=∠C，由于DE⊥AB，DF⊥AC，得到∠BED=∠CFD=90°，根据相似三角形的判定定理即可证得△BDE∽△CDF；
（2）根据矩形的面积公式即可列出y与x之间的函数关系式．

解答 （1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠A=90°，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴△BDE∽△CDF；

（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
∵BD=x，
∴BE=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴AE=6-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵∠A=∠BED=∠CFD=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x•（6-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）=-$\frac{1}{2}$x²+3$\sqrt{2}$x，
当x=3$\sqrt{2}$时，y_最大=9．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定，二次函数的最值，矩形的判定，掌握定理是解题的关键．