Question

19．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；过点P作直线PF∥AD，PF交CD于点F，过点F作EF⊥BD，且与AD、BD分别交于点E、Q；连接PE，设点P的运动时间为t（s）（0＜t＜10）．
解答下列问题：
（1）填空：AB=10 cm；
（2）当t为何值时，PE∥BD；
（3）设四边形APFE的面积为y（cm²）
①求y与t之间的函数关系式；
②若用S表示图形的面积，则是否存在某一时刻t，使得S_{四边形APFE}=$\frac{8}{25}$S_菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．
（2）由△APE∽△ABD，得出$\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AD}$，求出t的值即可；
（3）①过点C作CG⊥AB于点G，由S_菱形ABCD=AB•CG=$\frac{1}{2}$AC•BD，求出CG．据S_{平行四边形APFD}=$\frac{1}{2}$（AP+DF）•CG．S_△EFD=$\frac{1}{2}$EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；
②由S_菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S_{四边形APFE}=$\frac{8}{25}$S_菱形ABCD，求出t即可．

解答 解：（1）∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm，
∴BO=DO=8cm，AO=CO=6cm，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10（cm），
故答案为：10；

（2）∵在菱形ABCD中，∴AB∥CD，∠ADB=∠CDB，
又∵PF∥AD，
∴四边形APFD为平行四边形，
∴DF=AP=t，
又∵EF⊥BD于Q，且∠ADB=∠CDB，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF=t，
∴AE=10-t，
当PE∥BD时，△APE∽△ABD，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{t}{10}=\frac{10-t}{10}$，
∴t=5，
∴当t=5时，PE∥BD；

（3）①∵∠FDQ=∠CDO，∠FQD=∠COD=90°，
∴△DFQ∽△DCO．
∴$\frac{QF}{OC}=\frac{DF}{DC}$，
即$\frac{QF}{6}=\frac{t}{10}$，
∴$QF=\frac{3t}{5}$．
∴$EF=2QF=\frac{6t}{5}$，
同理，$QD=\frac{4t}{5}$，
如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵S_菱形ABCD=AB•CG=$\frac{1}{2}$AC•BD，
即10•CG=$\frac{1}{2}$×12×16，
∴CG=$\frac{48}{5}$．
∴S_{平行四边形APFD}=DF•CG=$\frac{48t}{5}$，
∴S_△EFD=$\frac{1}{2}$EF•QD=$\frac{1}{2}×\frac{6t}{5}×\frac{4t}{5}=\frac{{12{t^2}}}{25}$
∴$y=\frac{48t}{5}-\frac{{12{t^2}}}{25}$，

②当S_{四边形APFE}=$\frac{8}{25}$S_菱形ABCD
则$\frac{48t}{5}-\frac{{12{t^2}}}{25}=\frac{8}{25}×（{\frac{1}{2}×12×16}）$，
即t²-20t+64=0，
解这个方程，得t₁=4，t₂=16＞10（不合，舍去）
∴存在t=4s，使得S_{四边形APFE}=$\frac{8}{25}$S_菱形ABCD．

点评 本题主要考查了四边形的综合知识以及三角形面积求法和菱形的性质等知识，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．