Question

3．如果抛物线y=-x²+bx与x轴交于A、B两点，且顶点为C，那么当∠ACB=120°，b的值是（　　）

• A． ±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． ±$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 将解析式配方成顶点式得对称轴及其顶点纵坐标，作CD⊥AB于点D，由∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=60°、tan$∠BCD=\frac{BD}{CD}$，得$\frac{\frac{|b|}{2}}{\frac{{b}^{2}}{4}}$=$\sqrt{3}$，解之可得答案．

解答 解：∵y=-x²+bx=-（x-$\frac{b}{2}$）²+$\frac{{b}^{2}}{4}$，
∴抛物线的对称轴为x=$\frac{b}{2}$，顶点C的纵坐标为$\frac{{b}^{2}}{4}$，
如图，过点C作CD⊥AB于点D，

由抛物线对称性知∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=60°，
则tan$∠BCD=\frac{BD}{CD}$，即$\frac{\frac{|b|}{2}}{\frac{{b}^{2}}{4}}$=$\sqrt{3}$，
解得：b=0（舍）或b=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查二次函数与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．