Question

8．在五边形ADBCE中，∠ADB=∠AEC=90°，∠DAB=∠EAC，M、N、O分别为AC、AB、BC的中点．
（1）求证：△EMO≌△OND；
（2）若AB=AC，且∠BAC=40°，当∠DAB等于多少时，四边形ADOE是菱形，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得：DN=$\frac{1}{2}$AB，由中位线定理得：OM=$\frac{1}{2}$AB，则OM=DN，同理得：ON=ME，再根据外角定理和已知证明其夹角相等，则两三角形全等；
（2）连接AO，当∠DAB等于35°时，四边形ADOE是菱形，如图2，设∠DAB=x°，则∠BND=2x°，易证得OD=OE，AD=AE，因此只要AD=OD，四边形ADOE就是菱形；即∠DAO=∠AOD，列关于x的方程解出即可．

解答 证明：（1）∵∠ADB=90°，N是AB的中点，
∴DN=$\frac{1}{2}$AB=AN，
∴∠ADN=∠BAD，
∵O是AB的中点，M是AC的中点，
∴OM是△ABC的中位线，
∴OM=$\frac{1}{2}$AB，OM∥AB，
∴∠OMC=∠BAC，
同理得：∠BNO=∠BAC，
∴∠BNO=∠OMC，
∵DN=$\frac{1}{2}$AB，OM=$\frac{1}{2}$AB，
∴DN=OM，
同理得：ME=ON，
∵∠BND=∠ADN+∠BAD，
∠CME=∠CAE+∠AEM，
∴∠BND=2∠BAD，∠CME=2∠CAE，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BND=∠CME，
∴∠BND+∠BNO=∠CME+∠OMC，
即∠DNO=∠EMO，
∴△EMO≌△OND；
（2）当∠DAB等于35°时，四边形ADOE是菱形，理由是：
如图2，连接AO，
设∠DAB=x°，则∠BND=2x°，
∵AB=AC，O是BC的中点，
∴AO平分∠BAC，AO⊥BC，
∵∠BAC=40°，
∴∠BAO=20°，
在Rt△ABO中，N是AB的中点，
∴ON=$\frac{1}{2}$AB=AN，
∴∠BAO=∠AON=20°，
∴∠BNO=40°，
由（1）得：ON=$\frac{1}{2}$AC，DN=$\frac{1}{2}$AB，
∴ON=DN，
∴∠NDO=∠NOD=$\frac{180-∠DNO}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$（2x°+40°）=70°-x°，
∵∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE，AB=AC，
∴△ADB≌△AEC，
∴AD=AE，
由（1）得：△EMO≌△OND，
∴OD=OE，
∴当AD=OD时，四边形ADOE是菱形，
即∠DAO=∠AOD，
x+20=70-x+20，
x=35，
∴当∠DAB等于35°时，四边形ADOE是菱形．

点评 本题考查了直角梯形的性质、菱形、全等三角形、等腰三角形性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质是解此题的关键；本题的中点较多，除了运用等腰三角形三线合一的性质外，还多次运用了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质．