Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（　　）

• A． $\frac{25}{4}$
• B． $\frac{25}{8}$
• C． $\frac{75}{32}$
• D． $\frac{75}{16}$

Answer 1

分析 先利用“两角法”可以证得△PBQ与△ABC相似，再设BP=x（0＜x＜4）．由勾股定理、相似三角形的对应边成比例以及三角形的面积公式，列出S与x的函数关系式，利用配方法求得二次函数的最值．

解答 解：设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理得 AB=5，
∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△PBQ∽△ABC，
∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{QB}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，即 $\frac{PQ}{3}$=$\frac{QB}{4}$=$\frac{x}{5}$
∴PQ=$\frac{3}{5}$x，QB=$\frac{4}{5}$x
S_△APQ=$\frac{1}{2}$PQ×AQ=$-\frac{6}{25}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x=$-\frac{6}{25}（x-\frac{25}{8}）^{2}+\frac{75}{32}$
∴当x=$\frac{25}{8}$时，△APQ的面积最大，最大值是$\frac{75}{32}$．
故选（C）

点评 本题综合考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及二次函数的最值的求法等知识点的综合应用．在证明三角形相似时，要充分利用公共角，在利用相似三角形的性质时，要找准对应边．