Question

17．如下图，将一张正方形纸片，第一次剪成四个大小形状一样的正方形，第二次再将其中的一个正方形，再按同样的方法，剪成四个小正方形，如此循环进行下去…
（1）填表

剪的次数	1	2	3	4	…
正方形个数	4	7	10	13	…

（2）若剪n次，共剪出多少个小正方形？
（3）若剪去10次，共剪出多少个小正方形？
（4）若原来正方形的边长为a，求当n=5时，所剪得的所有正方形的周长的和．

Answer 1

分析 （1）（2）由题意可知：每一次剪的时候，都是把上一次的图形中的一个进行剪切．所以在第一次4个的基础上，依次多3个，由此规律得出答案即可；
（3）把n=10，代入（2）中的规律求得答案即可；
（4）由题意可知，每一次剪得正方形的边长是上一次正方形边长的$\frac{1}{2}$，计算每一次所有正方形的周长和相加即可．

解答 解：（1）填表如下：

剪的次数	1	2	3	4	…
正方形个数	4	7	10	13	…

（2）若剪n次，共剪出4+3（n-1）=3n+1个小正方形；
（3）若剪去10次，共剪出3×10+1=31个小正方形；
（3）当n=5时，共16个图形，
边长$\frac{a}{2}$的正方形3个，边长$\frac{a}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{4}$的正方形3个，边长$\frac{a}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{8}$的正方形3个，边长$\frac{a}{8}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{16}$的正方形3个，边长$\frac{a}{16}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{32}$的正方形4个，
所有正方形的周长的和为：$\frac{a}{2}$×3+$\frac{a}{4}$×3+$\frac{a}{8}$×3+$\frac{a}{16}$×3+$\frac{a}{32}$×4=$\frac{47}{16}$a．

点评 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律解决问题．