Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点D在线段AB上运动（不包括端点），∠CDE=45°，DE与CB交于点E，若DB=x，CE=y．
（1）试说明：△ACD∽△BDE；
（2）用含有x的代数式表示y；
（3）当△CDE是等腰三角形时，求AD的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据三角形内角和定理以及邻补角的定义证明∠DEB=∠ADC，然后根据∠A=∠B即可证得两个三角形相似；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（3）分CD=DE、CD=CE、CE=DE三种情况进行讨论即可求解．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴∠A=∠B=45°，AB=2

2

．
∵△BDE中，∠DEB=180°-∠EDB-∠B=180°-∠EDB-45°=135°-∠EDB，
又∵∠ADC=180°-∠CDE-∠EDB=135°-∠EDB，
∴∠DEB=∠ADC，
又∵∠A=∠B，
∴△ACD∽△BDE；
（2）若DB=x，CE=y，AD=2

2

-x，BE=BC-CE=2-y．
∵△ACD∽△BDE，
∴

AC

BD

=

AD

BE

，即

2

x

=

2 2 -x

2-y

，
∴y=

1

2

x²-

2

x+2；
（3）当CD=DE时，
∵△ACD∽△BDE，
∴△ACD≌△BDE，
∴AC=BD=2，
则AD=AB-BD=2

2

-2；
当CD=CE时，∠CDE=∠CED＞∠B=45°，则此时一定不成立；
当CE=DE时，∠CDA=∠DCE=45°，则CD是∠ACB的平分线，则AD=

1

2

AB=

2

．
故答案是：2

2

-2或

2

．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质以及相似三角新的判定与性质，正确证明∠DEB=∠ADC是关键．