Question

2．如图，四边形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q是连线的交点．求证：S_{四边形MQNP}=S_△APD+S_△BQC．

Answer 1

分析 连接AC，BD，根据四边形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，得到S_△ADM=$\frac{1}{2}$S_△ABD，S_△BCM=$\frac{1}{2}$S_△ABC，结合图形，利用等式的性质化简即可得证．

解答 证明：连接AC，BD，
∵四边形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，
∴S_△ADM=$\frac{1}{2}$S_△ABD，S_△BCM=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
S_△DMC=S_{四边形ABCD}-S_△ADM-S_△BCM
=（$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}-S_△ADM）+（$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}-S_△BCM）
=$\frac{1}{2}$S_△ABD+$\frac{1}{2}$S_△BCD-S_△ADM+$\frac{1}{2}$S_△ADC+$\frac{1}{2}$S_△ACB-S_△BCM
=S_△ADM+$\frac{1}{2}$S_△BCD-S_△ADM+$\frac{1}{2}$S_△ADC+S_△BCM-S_△BCM
=$\frac{1}{2}$S_△BCD+$\frac{1}{2}$S_△ADC
=S_△BCN+S_△ADN，
两边减去S_△DPN+S_△QCN得：S_△DMC-（S_△DPN+S_△QCN）=S_△BCN+S_△ADN-（S_△DPN+S_△QCN），
即S_{四边形MQNP}=S_△APD+S_△BQC．

点评 此题考查了面积及等积变换，弄清三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解本题的关键．