Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点I是△ABC的内心，延长BI交⊙O于D，交AC于点G．
（1）求证：AD=DI．
（2）探究线段ID，DG，DB之间的数量关系，并证明．
（3）若AC=4，BC=3，求AD的长．
（4）在（3）的条件下，求DG及AG的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连接AI，如图1，由点I是△ABC的内心可得∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，根据圆周角定理可得∠DAC=∠DBC，从而可得∠ABI=∠DAC，然后利用外角性质即可解决问题；
（2）易证△DAG∽△DBA，根据相似三角形的性质可得AD²=DG•DB，由AD=ID即可得到ID²=DG•DB；
（3）过点D作DE⊥AB于E，过点D作DF⊥BC于F，连接DC，如图2．根据勾股定理可得AB=5，易证△BED≌△BFD，则有DE=DF，BE=BF．由∠ABD=∠CBD可得DA=DC，然后根据勾股定理证到AE=CF，由此可求出BE、AE的长．易证△AED∽△ADB，然后根据相似三角形的性质即可求出AD的长；
（4）在Rt△ADB中运用勾股定理可求出DB，结合（1）中的结论AD²=DG•DB可求出DG的长，然后在Rt△ADG中运用勾股定理即可求出AG的长．

解答：解：（1）连接AI，如图1，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，
∵∠DAC=∠DBC，∴∠ABI=∠DAC，
∴∠DAI=∠DAC+∠IAC=∠ABI+∠BAI=∠AID，
∴AD=DI；

（2）ID²=DG•DB．
证明：∵∠ABD=∠DAG，∠D=∠D，
∴△DAG∽△DBA，
∴

AD

BD

=

GD

AD

，
∴AD²=DG•DB．
∵AD=ID，
∴ID²=DG•DB；

（3）过点D作DE⊥AB于E，过点D作DF⊥BC于F，连接DC，如图2．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°．
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5．
在△BED和△BFD中，

∠EBD=∠FBD ∠BED=∠BFD BD=BD

，
∴△BED≌△BFD（AAS），
∴DE=DF，BE=BF．
∵∠ABD=∠CBD，
∴DA=DC，
∴AE²=AD²-DE²=DC²-DF²=CF²，
∴AE=CF，
∴AB-BE=BF-BC，
∴5-BE=BE-3，
∴BE=4，
∴AE=AB-BE=5-4=1．
∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°，
∴△AED∽△ADB，
∴

AD

AB

=

AE

AD

，
∴AD²=AE•AB=1×5=5，
∴AD=

5

，
即AD的长为

5

；

（4）在Rt△ADB中，
DB=

AB2-AD2

=

25-5

=2

5

．
由（1）得AD²=DG•DB，
∴DG=

5

2 5

=

5

2

．
在Rt△ADG中，
AG=

AD2+DG2

=

5+ 5 4

=

5

2

，
∴在（3）的条件下，DG的长为

5

2

，AG的长为

5

2

．

点评：本题主要考查了圆周角与弦的关系、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，利用（1）中的结论将ID转化为AD是解决第（2）小题的关键，过∠ABC的角平分线上点D向两边作垂线段构造全等三角形是解决第（3）小题的关键，运用相似三角形的性质是解决第（4）小题的关键．