Question

10．已知：直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，直线y=3x-1与x轴交于点B，与y轴交于点C，两直线交于点D
（1）求点D坐标；
（2）求S_△ABD；
（3）若点P在坐标轴上，且满足PA=PD，请直接写出点P坐标．

Answer 1

分析 （1）联立两直线解析式成方程组，解方程组即可得出点C的坐标；
（2）将y=0代入直线AB的解析式中求出x值，由此即可得出OA的长度，再利用三角形的面积公式结合点C的坐标即可求出三角形OAC的面积．
（3）根据点A、D的坐标求得AD中点的坐标，利用等腰三角形三线合一的性质设出线段AD的垂直平分线为y=2x+b，代入即可求得垂直平分线的解析式，然后分点P在点x轴上与在y轴上两种情况写出点P的坐标．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=3x-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{7}}\\{y=\frac{11}{7}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{6}{7}$，$\frac{11}{7}$）；
（2）当y=0时，则0=-$\frac{1}{2}$x+2，
解得：x=4，
∴点A的坐标为（4，0），
∴OA=6，
则0=3x-1，
解得：x=$\frac{1}{3}$，
∴点B的坐标为（$\frac{1}{3}$，0），
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•y_D=$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{1}{3}$）×$\frac{11}{7}$=$\frac{121}{42}$．
（3）∵点A的坐标为（4，0），D（$\frac{6}{7}$，$\frac{11}{7}$），
∴AD的中点的坐标为（$\frac{17}{7}$，$\frac{11}{14}$），
∵A、D在直线y=-$\frac{1}{2}$x+2上，
∴线段AD的垂直平分线为y=2x+b，
代入（$\frac{17}{7}$，$\frac{11}{14}$）得b=-$\frac{47}{14}$，
∴线段AD的垂直平分线为y=2x-$\frac{47}{14}$，
∴当点P在x轴上时，点P的坐标为（$\frac{47}{28}$，0），
当点P在y轴上时，点P的坐标为（0，-$\frac{47}{14}$），
所以，点P的坐标为（$\frac{47}{28}$，0）或（0，-$\frac{47}{14}$）．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征以及三角形面积，解题的关键是联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标是关键．