Question

17．如图，O为直线AB上一点，作射线OC，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）试判断OE与OF的位置关系，并说明理由；
（2）若∠COF：∠EOB=2：5，求∠AOF的度数．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义知∠AOE=∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC、∠BOF=∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC，根据∠EOF=∠COE+∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）=90°可得答案；
（2）设∠BOF=∠COF=2x，则∠EOB=5x、∠BOC=4x，∠AOE=∠COE=∠BOE-∠BOC=x，根据∠AOC+∠BOC=180°求得x的值，由∠AOF=180°-∠BOF可得答案．

解答 解：（1）OE⊥OF，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠AOE=∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC、∠BOF=∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠EOF=∠COE+∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）=90°，
∴OE⊥OF；

（2）设∠BOF=∠COF=2x，则∠EOB=5x，∠BOC=4x，
∴∠AOE=∠COE=∠BOE-∠BOC=x，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴2x+4x=180，
解得：x=30，
则∠AOF=180°-∠BOF=180°-2x=120°．

点评 本题主要考查角的计算和角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．