阅读并回答下列问题．几何模型:条件:如图甲①.A.B是直线l同旁的两个定点．问题:在直线l上确定一点P.使PA+PB的值最小．方法:如图甲②.作点A关于直线l的对称点A′.连接A′B交l于点P.则PA+PB=A′B的值最小．模型应用:(1)如图乙①.正方形ABCD的边长为2.E为AB的中点.P是AC上一动点．连接BD.由正方形对称性可知.B与D关于直线AC对称．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

阅读并回答下列问题．
几何模型：
条件：如图甲①，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：如图甲②，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图乙①，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是

；
（2）如图乙②，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是

．
（3）如图乙③，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q，R分别是OA，OB上的动点，则△PQR周长的最小值是

．

考点：轴对称-最短路线问题

专题：几何综合题

分析：（1）由题意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；
（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是PA+PC的最小值；
（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB的交点Q、R，这时三角形PQR的周长=MN，只要求MN的长就行了．

解答：

解：模型应用：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB=PD，
由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，
在△ADE中，根据勾股定理得，DE=

22+12

；
故答案为：

；

（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，
PA+PC的最小值即为A′C的长，
∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=

，
∴A′C=2

，即PA+PC的最小值是2

；
故答案为：2

；

（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，
连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
在Rt△MON中，MN=

OM2+ON2

102+102

=10

．
即△PQR周长的最小值等于10

．
故答案为：10

．

点评：此题主要考查了有关轴对称--最短路线的问题，涉及到正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．