Question

17．如图，△APB和△DPC是两个全等的等边三角形，AP⊥DP，有以下四个结论：①∠PBC=15°；②AC=BC；③AD∥BC；④直线PC⊥AB，其中正确的结论有①②③④（填序号）．

Answer 1

分析 由条件可求得∠BPC=150°，利用等腰三角形的性质可求得∠PBC的度数，可判断①；由条件可证明△APC≌△BPC，可判断②；可分别求得∠DAB=105°，∠ABC=75°，利用平行线的判定可判断③；利用等腰三角形的性质可知PC为AB的垂直平分线，可判断④．

解答 解：
∵△APB和△DPC是两个全等的等边三角形，AP⊥DP，
∴∠APB=∠DPC=60°，∠APD=90°，
∴∠BPC=360°-90°-60°-60°=150°，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=$\frac{1}{2}$×（180°-150°）=15°，故①正确；
由条件可得∠APC=90°+60°=150°，
∴∠APC=∠BPC，
在△APC和△BPC中
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{∠APC=∠BPC}\\{PC=PC}\end{array}\right.$
∴△APC≌△BPC（SAS），
∴AC=BC，故②正确；
∵PA=PD，∠APD=90°，
∴∠PAD=45°，
∴∠DAB=45°+60°=105°，
∵∠PBA=60°，∠PBC=15°，
∴∠ABC=75°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，故③正确；
∵△APC≌△BPC，
∴∠ACP=∠BCP，且AC=BC，
∴PC⊥AB，故④正确；
综上可知正确的结论为①②③④，
故答案为：①②③④．

点评 本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，充分利用图形中角度之间的关系是解题的关键．