Question

12．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）点D是在直线AC上方的抛物线上的一点，求△DCA面积的最大值；
（3）P是抛物线上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx-2，然后将点A和点B的坐标代入求解即可；
（2）过D作y轴的平行线交AC于E，将△DCA分割成两个三角形△CDE，△ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即△DCA的面积，运用代数式的变形求最大值；
（3）△OAC是直角三角形，以A，P，M为顶点的三角形与其相似，由于点P可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答．

解答 解：（1）Q该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-2=0}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$
∴此抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．
（2）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2．

过D作y轴的平行线交AC于E．
由题意可求得直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2．
∴E点的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t-2）．
∴DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-（$\frac{1}{2}$t-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t．
∴S_△DAC=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴当t=2时，△DAC面积最大值为4．
（3）存在．

如图，设P点的横坐标为m，则p点的纵坐标为-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2．
当1＜m＜4时，AM=4-m，PM=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当$\frac{AM}{PM}$=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{2}{1}$时，△APM∽△ACO，即4-m=2（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2）．
解得m=2或m=4（舍去）
∴P（2，1）．
②当$\frac{AM}{PM}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$时，△APM∽△CAO，即2（4-m）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2．
解得m=4或m=5（均不合题意）．
∴当1＜m＜4时，P（2，1）．
如图所示：当m＞4时，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．

设P点的横坐标为m，则p点的纵坐标为-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2．则AM=m-4，PM=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2．
当$\frac{AM}{PM}$=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{2}{1}$时，△APM∽△ACO，即m-4=2（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），
解得m=2或m=4均不和题意．
当$\frac{AM}{PM}$=$\frac{OC}{AO}$=$\frac{1}{2}$时，△APM∽△CAO，即2（m-4）=$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2．
解得m=4（不合题意）或m=5．
∴P（5，-2）．
如图4所示：当m＜1时，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．

设P点的横坐标为m，则p点的纵坐标为-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2．则AM=4-m，PM=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2．
当$\frac{AM}{PM}$=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{2}{1}$时，△APM∽△ACO，即4-m=2（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），
解得m=0或m=4均不和题意．
当$\frac{AM}{PM}$=$\frac{OC}{AO}$=$\frac{1}{2}$时，△APM∽△CAO，即2（4-m）=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2．
解得m=-3或m=4．
∴P（-3，-14），
当P，C重合时，△APM≌△ACO，
P（0，-2）．
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）或（0，-2）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定，分类讨论是解题的关键．