题目内容
已知Rt△ABC中，∠ABC=Rt∠，且tan∠C=
，AC上有一点D，满足AD：DC=1：2，则tan∠ABD的值是 ．
| 3 |
| 5 |
考点：解直角三角形
专题：
分析：作DH⊥BC于H，在Rt△ABC中，由tanC=
=
，可设AB=3x，CB=5x，再证明△CDH∽△CAB，得到
=
=
，由AD：DC=1：2得
=
，所以
=
=
，解得DH=2x，CH=
，则BH=CB-CH=
x，然后在Rt△BDH中，根据正切的定义得tan∠BDH=
=
，由于DH∥AB，则∠ABD=∠BDH，即有tan∠ABD=
．
| AB |
| CB |
| 3 |
| 5 |
| DH |
| AB |
| CH |
| CB |
| CD |
| CA |
| CD |
| CA |
| 2 |
| 3 |
| DH |
| 3x |
| CH |
| 5x |
| 2 |
| 3 |
| 10x |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| BH |
| DH |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
解答：解：
作DH⊥BC于H，如图，
在Rt△ABC中，tanC=
=
，设AB=3x，CB=5x，
∵DH⊥BC，
∴DH∥AB，
∴△CDH∽△CAB，∠ABD=∠BDH，
∴
=
=
，
而AD：DC=1：2，
∴得
=
，
∴
=
=
，
解得DH=2x，CH=
，
∴BH=CB-CH=5x-
=
x，
在Rt△BDH中，tan∠BDH=
=
=
，
∴tan∠ABD=
．
故答案为
．
作DH⊥BC于H，如图，在Rt△ABC中，tanC=
| AB |
| CB |
| 3 |
| 5 |
∵DH⊥BC，
∴DH∥AB，
∴△CDH∽△CAB，∠ABD=∠BDH，
∴
| DH |
| AB |
| CH |
| CB |
| CD |
| CA |
而AD：DC=1：2，
∴得
| CD |
| CA |
| 2 |
| 3 |
∴
| DH |
| 3x |
| CH |
| 5x |
| 2 |
| 3 |
解得DH=2x，CH=
| 10x |
| 3 |
∴BH=CB-CH=5x-
| 10x |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
在Rt△BDH中，tan∠BDH=
| BH |
| DH |
| ||
| 2x |
| 5 |
| 6 |
∴tan∠ABD=
| 5 |
| 6 |
故答案为
| 5 |
| 6 |
点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形相似的判定与性质．
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