Question

如图，边长为4的菱形ABCD的内角∠B=60°，O是对角线AC的中点．E、F、G、H 分别在菱形ABCD的四条边上，四边形EBOF与四边形HDOG关于直线AC对称，且∠EOF=60°．
（1）当四边形EBFO与四边形HDGO关于点O成中心对称时，判断四边形EFGH是什么四边形，并给予证明；
（2）设四边形EBFO的面积为S₁，四边形FCGO的面积为S₂．若m=

2S1

S2

，求m的最大值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据轴对称和中心对称的性质证明四边形EFGH的对角线相等且互相平分，即可证得四边形EBFO是矩形；
（2）OE＞OF，取AB中点N，BC中点M，连结MN延长交OF延长线于K，首先证明△AOE≌△NOK得到NK=AE，AE=NK=x，利用x表示出S1和S2，即得到m关于x的函数，利用函数的性质即可求解．

解答：解：（1）四边形EFGH是矩形．
∵四边形EBOF与四边形HDOG关于直线AC对称，
∴OE=OH，OF=OG．
∵四边形EBFO与四边形HDGO关于点O成中心对称，
∴E，O，G在同一直线上，且OE=OG，
F，O，H在同一直线上，且OF=OH，
∴OE=OH=OF=OG，
∴四边形EFGH对角线互相平分且相等．
∴四边形EFGH是矩形；
（2）要使m最大，则OE＞OF．
因为四边形EBFO的面积在E，F的移动过程变化会出现重复，当OE＞OF时四边形FCGO的面积，比OE＜OF时四边形FCGO的面积小．所以m的最大值会在OE＞OF时出现．
如图，若OE＞OF，取AB中点N，BC中点M，连结MN延长交OF延长线于K．
∵△ABC为等边三角形，
∴ON=OM=MN=AO=OC=

1

2

AB=2，
∴∠A=∠ONM=60°．
又∵∠AON=∠EOF=60°，
∴∠AON+∠EON=∠EOF+∠EON，
∴∠AOE=∠NOK，
∴在△AOE和△NOK中，

∠A=∠ONM ON=OA ∠AOE=∠NOK

∴△AOE≌△NOK．
∴NK=AE，
设AE=NK=x，则MK=x-2，
∵MF∥NO，
∴

MF

NO

=

MK

NK

，
∴

MF

2

=

x-2

x

，
∴MF=

2(x-2)

x

，
∵S₁=S_△BEO+S_△BFO，
S_△BEO=

1

2

BE•AO•sin60°=

3

2

（4-x），
S_△BFO=

1

2

BF•CO•sin60°=

3

2

[2+

2(x-2)

x

]．
∴S1=

3

2

[4-x+2+

2(x+2)

x

]=

3 (-x2+8x-4)

2x

，
∵S_△AFC=

1

2

S₂，
S_△AFC=

1

2

CF•CO•sin60°=

1

2

[2-

2(x-2)

x

]•

3

=

2 3

x

，
∴m=

2S1

S2

=

S1

1 2 S2

=

3 (-x2+8x-4) 2x

2 3 x

=-

1

4

（x-4）²+3．
∴当x=4时，即AE=4时m取最大值为3．

点评：本题考查了轴对称以及中心对称的性质，二次函数的性质，正确得到关于x的函数的解析式是关键．