Question

11．若一个矩形长为m cm．宽为n cm，（m＞n）
（1）若这个矩形长增加2cm，宽增加2cm，则面积增加了18cm²；若这个矩形长减少1cm，宽增加1cm，则面积增加了2cm²，求$\frac{m}{n}$-$\frac{n}{m}$的值；
（2）若以m  cm为边长的正方形与以n  cm为边长的正方形的面积和是这个矩形面积的3倍，求$\frac{m}{n}$-$\frac{n}{m}$的值．

Answer 1

分析 （1）由面积上的变化关系列出关于m、n的方程组，解之得出m、n的值，再代入可得答案；
（2）根据题意得出m²+n²=3mn，变形可得m²+2mn+n²=5mn，m²-2mn+n²=mn，即（m+n）²=5mn，（m-n）²=mn，从而得出m+n=$\sqrt{5mn}$，m-n=$\sqrt{mn}$，再代入原式=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{mn}$=$\frac{（m+n）（m-n）}{mn}$即可得．

解答 解：（1）根据题意知：$\left\{\begin{array}{l}{（m+2）（n+2）-mn=18}\\{（m-1）（n+1）-mn=2}\end{array}\right.$，
整理得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=7}\\{m-n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=2}\end{array}\right.$，
则原式=$\frac{5}{2}$-$\frac{2}{5}$=$\frac{21}{10}$；

（2）由题意知m²+n²=3mn，
则m²+2mn+n²=5mn，m²-2mn+n²=mn，
即（m+n）²=5mn，（m-n）²=mn，
∵m、n为矩形的边长，均为正数，
∴m+n=$\sqrt{5mn}$，m-n=$\sqrt{mn}$，
则原式=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{mn}$
=$\frac{（m+n）（m-n）}{mn}$
=$\frac{\sqrt{5mn}•\sqrt{mn}}{mn}$
=$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查分式的混合运算、二元一次方程组的应用、完全平方公式等知识点，根据面积上的相等关系列出方程组和对m²+n²=3mn利用完全平方公式变形得出m+n和m-n的值是解题的关键．