Question

15．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上（点D不与点A、B重合），且AD=AE，连结DE．
问题原型：将图①中△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）．如图②，求证：△ABD≌△ACE．
初步探究：在问题原型的条件下，延长BD交直线AC于点G，交直线CE于点F，请利用图③探究BF⊥CE是否成立，并说明理由．
简单应用：在问题原型的条件下，当AB=$\sqrt{3}$，AD=1时，若AD∥CE，则CF的长为$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 问题原型：根据旋转的性质和已知，运用SAS证明即可；
初步探究：由问题原型中的结论：△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，结合等量代换进行求解即可；
简单应用：运用AD∥CE结合初步探究中的结论，可证AD⊥BG，结合射影定理和勾股定理和相似的性质即可求解．

解答 解：问题原型如图②，

由旋转的性质可知，∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE；
初步探究：如图③，

由问题原型可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DGA=90°，∠DGA=∠CGF，
∴∠CGF+∠ACE=90°，
∴BF⊥CE；
简单应用：如图③，

由初步探究可知，BF⊥CE，
∵AD∥CE，
∴AD⊥BG，
∵∠BAG=90°，AB=$\sqrt{3}$，AD=1，
∴勾股定理和由射影定理可求：
BD=$\sqrt{2}$，DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵△ABD≌△ACE，
∴AC=AB=$\sqrt{3}$，
∴CG=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由AD∥CE易证△ADG∽△CFG，
∴$\frac{CF}{AD}=\frac{CG}{AG}$，
解得：CF=$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 此题主要考查几何变换中的旋转，熟悉旋转的性质，会证明三角形全等，并应用全等三角形的性质解决角的问题，会运用射影定理和勾股定理和相似求线段长度是解题的关键．