Question

如图，线段BC切⊙O于点C，以AC为直径，连接AB交⊙O于点D，点E是BC的中点，交AB于点D，连结OB、DE交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC=4，BC=4

3

，求

EF

FD

的值．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连结OD、CD，则可得∠ODA=∠A，结合直径所对的圆周角为90°，可得∠ODE=90°，从而可证明OD⊥DE，也可得出结论；
（2）连结OE．根据三角形中位线定理得出OE∥AB，OE=

1

2

AB，由相似三角形的判定得到△OEF∽△BDF，则

EF

FD

=

OE

BD

．在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB=8，则OE=4，再证明△AOD是边长为2的等边三角形，得出AD=2，BD=AB-AD=6，进而求解即可．

解答：（1）证明：连结OD、CD，如图．
∵AC是⊙O直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°．   
∵点E是BC的中点，
∴DE=BE=EC．
∵OA=OD，DE=BE，
∴∠ADO=∠A，∠DBE=∠BDE．
∵∠DBE+∠A=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°．
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
即DE是⊙O的切线；

（2）解：连结OE．则OE∥AB，OE=

1

2

AB，
∴△OEF∽△BDF，
∴

EF

FD

=

OE

BD

．
∵BC切⊙O于点C，
∴∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，AC=4，BC=4

3

，
根据勾股定理得，AB=8，
∴OE=4，
∵∠A=60°，
∴△AOD是边长为2的等边三角形，
∴AD=2，BD=AB-AD=6，
∴

EF

FD

=

OE

BD

=

4

6

=

2

3

．

点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．