Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，EF与AB、AC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AF+CF=AB．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连结OD，根据角平分线定义得∠BAD=∠CAD，根据圆周角定理得

BD

=

CD

，则根据垂径定理的推论得OD⊥BC，由于BC∥EF，根据平行线的性质得OD⊥EF，于是根据切线的判定定理可得到EF为⊙O的切线；
（2）首先连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，易证得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，继而证得AF+CF=AB．

解答：证明：（1）连结OD，如图．
∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

CD

，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；

（2）连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，如图．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BH，
∴∠ADB=∠ADH=90°，
在△ADH和△ADB中，

∠HAD=∠BAD AD=AD ∠ADH=∠ADB

，
∴△ADH≌△ADB（ASA），
∴AH=AB．
∵EF是切线，
∴∠CDF=∠CAD，∠HDF=∠EDB=∠BAD，
∴∠CDF=∠HDF．
在△CDF与△HDF中，

∠CDF=∠HDF DF=DF ∠CFD=HFD=90°

，
∴△CDF≌△HDF（ASA），
∴FH=CF，
∴AF+CF=AF+FH=AH=AB，
即AF+CF=AB．

点评：此题考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．