Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分別交于C、D两点（点C在点D的左侧）．

（1）求该抛物线对应的函数表达式；

（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，连接OM．

①求MN的最大值；

②当△OMN为直角三角形时，直接写出点M的坐标；

（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分別交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①；②点M的坐标为（0，3）或（）；（3）EF+EG的和为定值，该定值为8，理由见解析

【解析】

（1）由抛物线的顶点坐标可设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4，代入点B的坐标可求出a值，进而可得出抛物线对应的函数表达式；

（2）①由点B的坐标利用待定系数法可得出直线OB的函数表达式，联立直线OB和抛物线的函数表达式成方程组，通过解方程组可求出直线和抛物线的交点坐标，设点M的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣2＜m＜），则点N的坐标为（，﹣m2﹣2m+3），进而可得出MN＝，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；

②由MN∥x轴可知∠ONM≠90°，分∠OMN＝90°和∠MON＝90°两种情况考虑：（i）当∠OMN＝90°时，线段OM在y轴上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；（ii）当∠MON＝90°时，OM⊥OB，由点B的坐标可得出直线OM过点（3，2），进而可得出直线OM对应的函数表达式，联立直线OM和抛物线的函数表达式成方程组，通过解方程组可求出点M的坐标；

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C，D的坐标，设点P的坐标为（n，﹣n2﹣2n+3）（﹣1＜n＜1），利用待定系数法可求出直线CP，DP对应的函数表达式，由点A的坐标结合AE∥y轴可得出直线AE对应的函数表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点F，G的坐标，进而可得出EF，EG，EF+EG的值．

（1）∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），

∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．

将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，

解得：a＝﹣1，

∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）①设直线OB对应的函数表达式为y＝kx（k≠0），

将B（﹣2，3）代入y＝kx，得：3＝﹣2k，

解得：k＝﹣，

∴直线OB对应的函数表达式为y＝﹣x．

联立直线OB和抛物线的函数表达式成方程组，得： ，

解得： ．

设点M的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣2＜m＜），则点N的坐标为（m2+m﹣2，﹣m2﹣2m+3），

∴MN＝m﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣m+2＝﹣（m+）2+．

∵﹣＜0，

∴当m＝﹣时，MN最大，最大值为．

②∵MN∥x轴，

∴∠ONM≠90°，

∴分两种情况考虑（如图3所述）：

（i）当∠OMN＝90°时，线段OM在y轴上．

∵当m＝0时，y＝﹣m2﹣2m+3＝3，

∴点M的坐标为（0，3）；

（ii）当∠MON＝90°时，OM⊥OB，

∵点B的坐标为（﹣2，3），

∴点（3，2）在直线OM上，

∴直线OM对应的函数表达式为y＝x．

联立直线OM和抛物线的函数表达式成方程组，得： ，

解得： （不合题意，舍去）， ，

∴点M的坐标为（）．

综上所述：点M的坐标为（0，3）或（）．

（3）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴点C的坐标为（﹣3，0），点D的坐标为（1，0）．

设点P的坐标为（n，﹣n2﹣2n+3）（﹣1＜n＜1）．

∵点C的坐标为（﹣3，0），点D的坐标为（1，0），

∴直线CP对应的函数表达式为y＝（1﹣n）x+3﹣3n，直线DP对应的函数表达式为y＝﹣（n+3）x+n+3（可利用待定系数法求出）．

∵点A的坐标为（﹣1，4），AE∥y轴，

∴直线AE对应的函数表达式为x＝﹣1．

当x＝﹣1时，y＝（1﹣n）x+3﹣3n＝2﹣2n，y＝﹣（n+3）x+n+3＝2n+6，

∴点F的坐标为（﹣1，2﹣2n），点G的坐标为（﹣1，2n+6），

∴EF＝2﹣2n，EG＝2n+6，

∴EF+EG＝8．

∴EF+EG的和为定值，该定值为8．