Question

13．已知抛物线C₁：y=-x²+2mx+1（m为常数，且m≠0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B，若P是抛物线C₁上的点，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为菱形，则m的值为±$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先假设成立，根据菱形的性质求解，求得m=±$\sqrt{3}$．

解答 解：假设抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，
则PC=AB=BC，
过点A作抛物线C₁的对称轴，交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E，如图所示：
∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，
∴AC=BC．
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACM=∠BCM=30°，
∵四边形ABCP为菱形，且点P在C₁上，
∴点P与点C关于AD对称．
∴PC与AD的交点也为点E，
因此∠ACE=90°-30°=60°．
∵点A，C的坐标分别为A（m，m²+1），C（0，1），
∴AE=m²+1-1=m²，CE=|m|，
在Rt△ACE中，tan60°=$\frac{AE}{CE}$=$\sqrt{3}$．
∴m=±$\sqrt{3}$，
故答案为：±$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了二次函数与四边形以及轴对称图形的综合知识；解题时要注意辅助线选择与应用，还要注意数形结合思想的应用．