Question

在实践中学习：
（1）如图1所示：已知AB∥CD，∠ABD=115°，根据

 

可得出：∠BDC的度数是

 

．
（2）如图2所示：已知AB∥CD，∠ABC=25°，∠EDC=40°，求∠BED的度数．
解：过点E作EF∥AB
∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD
∵EF∥AB，EF∥CD
∴∠ABC=∠BEF，∠EDC=∠DEF

 

∴∠BEF=25°，∠DEF=40°
即∠BED=

 

．
（3）如图3所示：已知MA∥NC，试确定∠A、∠B、∠C和∠E、∠F的关系，并说明理由．
（4）如图4所示：已知AB∥CD，∠ABE=α，∠FCD=β，∠CFE=γ，且BE⊥EF，试确定α、β、γ的关系，请说明理由．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质

专题：

分析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补求解；
（2）根据两直线平行，内错角相等求解；
（3）作BH∥AM，如图3，由（2）的结论得到∠E=∠1+∠A，∠F=∠2+∠C，把两式相加得到∠E+∠F=∠1+∠A+∠2+∠C=∠A+∠B+∠C；
（4）作BP∥AB，如图4，由（2）的结论得∠ABE+∠EFP=∠BEF，而∠PFC=∠FCD，所以∠EFP=90°-α，∠PFC=β，把两式相加得到γ=90°-α+β．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠BDC=180°-115°=65°；
（2）过点E作EF∥AB
∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD
∵EF∥AB，EF∥CD
∴∠ABC=∠BEF，∠EDC=∠DEF，
∴∠BEF=25°，∠DEF=40°
即∠BED=65°；
故答案为两直线平行，同旁内角互补，65°；两直线平行，内错角相等；65°；

（3）∠A、∠B、∠C和∠E、∠F的关系为∠E+∠F=∠A+∠B+∠C．理由如下：
作BH∥AM，如图3，
由（2）的结论得到∠E=∠1+∠A，∠F=∠2+∠C，
∴∠E+∠F=∠1+∠A+∠2+∠C=∠A+∠B+∠C；
（4）γ+α=90°+β．理由如下：


作BP∥AB，如图4，
由（2）的结论得∠ABE+∠EFP=∠BEF，
而∠PFC=∠FCD，
∴∠EFP=90°-α，∠PFC=β，
∴∠EFP+∠PFC=90°-α+β，
∴γ=90°-α+β，
即γ+α=90°+β．

点评：本题考查了平行线的判定与性质：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．