Question

已知二次函数y＝x²—2x＋c（c为常数）．

（1）若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点，求c的取值范围；

（2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为D，若存在点P（m，0）（m＞3）使得△CDP与△BDP面积相等，求m的值．

Answer 1

解：（1）由题意可得，该二次函数与x轴有两个不同的交点，

也就是当y＝0时，方程x²—2x＋c＝0有两个不相等的实数根，

即b²－4ac＞0，所以4－4c＞0，c＜1．

又因为该二次函数与两个坐标轴有三个不同的交点，所以c≠0．

综上，若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点，

c的取值范围为c＜1且c≠0．                                                                         4分

（2）因为点A（－1，0）在该二次函数图象上，可得0＝(－1)²－2×(－1)＋c，c＝－3．

所以该二次函数的关系式为y＝x²—2x－3，可得C（0，－3）．

由x＝－＝1，可得B（3，0），D（1，－4）．

若点P（m，0）（m＞3）使得△CDP与△BDP面积相等，

可得点C、B到DP的距离相等，此时，CB∥DP．

设过点C、B的直线的函数关系式为y＝kx＋b，即解得

设过点D、P的直线的函数关系式为y＝x＋n，即－4＝1＋n．解得n＝－5．

即y＝x－5，当y＝0时，x＝5，即m＝5．                                                         9分