Question

如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O 的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC＝PC．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若OA＝3，AB＝2，求BP的长．

 

Answer 1

（1）证明：连结OB．

∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA．

又∵BC＝PC，∴∠P＝∠CBP． …………1分

∵OP⊥AD，∴∠A＋∠P＝90°，

∴∠OBA＋∠CBP＝90°，…………2分

∴∠OBC＝180°－（∠OBA＋∠CBP）＝90°．

∵点B在⊙O上，

∴直线BC是⊙O的切线．  …………4分

（2）连结DB．

∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，

∴Rt△ABD∽Rt△AOP．…………6分

∴＝，即 ＝ ，AP＝9，…………7分

∴BP ＝AP—BA＝9—2＝7．  …………8分