Question

18．如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．
（1）求CD两点的距离；
（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．
（参考数据：sin53°≈$\frac{4}{5}$，cos53°≈$\frac{3}{5}$，tan53°≈$\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 （1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，根据直角三角形的性质得出CG，再根据三角函数的定义即可得出CD的长；
（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，过点E作EH⊥CD于点H，根据三角函数表示出EH，在Rt△EHC中，根据正弦的定义求值即可．

解答 解：（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，
∵在Rt△CGB中，∠CBG=90°-60°=30°，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×（30×$\frac{1}{2}$）=7.5，
∵∠DAG=90°，
∴四边形ADFG是矩形，
∴GF=AD=1.5，
∴CF=CG-GF=7.5-1.5=6，
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，
∵∠DCF=53°，
∴COS∠DCF=$\frac{CF}{CD}$，
∴CD=$\frac{CF}{COS53°}$=$\frac{6}{\frac{3}{5}}$=10（海里）．
答：CD两点的距离是10；
（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，
由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，
过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90°，
∴sin∠EDH=$\frac{EH}{ED}$，
∴EH=EDsin53°=3t×$\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$t，
∴在Rt△EHC中，sin∠ECD=$\frac{EH}{CE}$=$\frac{\frac{12}{5}t}{30t}$=$\frac{2}{25}$．
答：sin∠ECD=$\frac{2}{25}$．

点评 考查了解直角三角形的应用-方向角问题，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．