题目内容
【题目】在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．）
（1）如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC．
（2）若
，∠BAD＝x° ．
①如图②，当DE⊥BC时，求x的值；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①
，②存在，
或
．
【解析】
（1）根据折叠的性质得到∠B=∠E，根据平行线的判定定理证明；
（2）①根据三角形内角和定理分别求出∠C=60°，∠B=30°，根据折叠的性质计算即可；②分∠EDF=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三种情况，列方程解答即可．
（1）∵AE⊥BC
∴∠EAC+∠C=90°
∵∠BAC=90°
∴∠B+∠C=90°
∴∠B=∠EAC
∵将△ABD沿AD翻折后得到△AED
∴∠B=∠E
∴∠EAC=∠E
∴DE∥AC
（2）①∵∠B+∠C=90°，
∴∠B=40°，∠C=50°
∵DE⊥BC
∴∠EDF=90°
∵将△ABD沿AD翻折后得到△AED
∴∠B=∠E=40°，∠BAD=∠EAD=
°
∴∠DFE=50°
∵∠DFE=
∴
∴
②由题意可得，∠ADC=
， ∠ABD=
，
∠EDF=
∠DFE=
（ⅰ）若∠EDF=∠DFE ，可得
，解得
（ⅱ）若∠EDF=∠E ，可得
解得
（ⅲ）若∠DFE =∠E，可得
解得
（舍去）
综上可得或
．
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