Question

15．如图1，直线AB：y=-2x+4分别与x轴、y轴相交于点A、点B，以B为直角顶点在第一象限作等腰Rt△ABC．

（1）求点A、B两点的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）如图2，若点P为y轴正半轴上一个动点，分别以AP、OP为腰在第一象限、第二象限作等腰Rt△APE和等腰Rt△OPD，连接ED交y轴于点M，当点P在y轴正半轴上移动时，求PM的长度．

Answer 1

分析 （1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出A、B两点的坐标；
（2）过点C作CD⊥y轴于点D，根据AAS定理得出△BCD≌△ABO，故可得出CD及BD的长，由此可得出C点坐标；
（3）首先过点E作CE⊥y轴于点C，连接DC，由以AP、OP为腰在第一、二象限作等腰Rt△APC和等腰Rt△OPD，易证得△AOP≌△CPE（AAS），则可证得PC=OA=2，CE=OP，又可证得四边形PDCE是平行四边形，继而求得PM的长度．

解答 解：（1）∵令y=0，则x=2，令x=0，则y=4，
∴A（2，0），B（0，4）；

（2）过点C作CD⊥y轴于点D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠DBC+∠DCB=90°，∠DBC+∠ABO=90°，
∴∠DBC=∠BAO．
在△BCD与△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}∠CDB=∠BOA\\∠DBC=∠BAO\\ AB=BC\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ABO（AAS），
∴BD=OA=2，CD=OB=4，
∴OD=4+2=6，
∴C（4，6）；

（3）如图2，E作CE⊥y轴于点C，连接DC，
则∠ECP=∠POA=90°，
∵△APE是等腰直角三角形，
∴AP=PE，∠APE=90°，
∴∠OPA+∠EPM=90°，
∵∠OPA+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠EPM，
在△AOP和△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AOP=∠PEC\\∠OAP=∠EPC\\ AP=CP\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△PCE（AAS），
∴PC=OA=2，CE=OP，
∵△OPD是等腰直角三角形，
∴DP⊥y轴，PD=OP，
∴CE∥PD，CE=PD，
∴四边形PDCE是平行四边形，
∴PM=$\frac{1}{2}$PC=1．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．