Question

阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，试判断△ABC的形状．
解：因为a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，①
所以c²（a²-b²）=（a²-b²）（a²+b²）．②
所以c²=a²+b²．              ③
所以△ABC是直角三角形．④
请据上述解题回答下列问题：
（1）上述解题过程，从第

 

步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为

 

；
（2）请你将正确的解答过程写下来．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：

分析：（1）上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以a²-b²，没有考虑a²-b²是否为0；
（2）正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．

解答：解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略了a²-b²=0的可能；

（2）正确的写法为：c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），
移项得：c²（a²-b²）-（a²+b²）（a²-b²）=0，
因式分解得：（a²-b²）[c²-（a²+b²）]=0，
则当a²-b²=0时，a=b；当a²-b²≠0时，a²+b²=c²；
所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
故答案为：③，忽略了a²-b²=0的可能．

点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．