Question

已知二次函数y=a（x-m）²-2a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）把抛物线方程转化为一般式方程，然后由根的判别式的符号进行证明；
（2）根据抛物线解析式可以求得点C的坐标；令y=0可以求得点A、B的坐标．所以根据等腰直角三角形的面积公式进行解答．

解答：解：（1）证明：y=a（x-m）²-2a（x-m）=ax²-（2am+2a）x+am²+2am．
当a≠0时，△=（2am+2a）²-4a（am²+2am）=4a²
∵a≠0，
∴4a²＞0．
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）y=a（x-m）²-2a（x-m）=a（x-m-1）²-a．
∴C（m+1，-a）．
当y=0时，
解得x₁=m，x₂=m+2．
∴AB=（m+2）-m=2．
当△ABC是等腰直角三角形时，可求出AB边上高等于1．
∴|-a|=1．
∴a=±1．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，等腰直角三角形以及二次函数的性质．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．
△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．