Question

（1）如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD丄AB于E，AC=8，CD=6，求cos∠ABC的值．

（2）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45^s，AC=2

3

，求AB的长．

Answer 1

考点：垂径定理,圆周角定理,解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）根据垂径定理由CD丄AB得CE=

1

2

CD=3，则根据余弦定义得cos∠ACE=

3

8

，再根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，然后根据等角的余角相等得到∠B=∠ACE，所以cos∠ABC=

3

8

；
（2）作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=

1

2

AC=

3

，AD=

3

CD=3，在Rt△BCD中，根据等腰直角三角形的性质得∴BD=CD=

3

，于是得到AB=AD+BD=3+

3

．

解答：解：（1）∵CD丄AB，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

×6=3，
∴cos∠ACE=

CE

AC

=

3

8

，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
而∠ACE+∠A=90°，
∴∠B=∠ACE，
∴cos∠ABC=

3

8

；
（2）作CD⊥AB于D，如图2，
在Rt△ACD中，AC=2

3

，∠A=30°，
∴CD=

1

2

AC=

3

，
AD=

3

CD=3，
在Rt△BCD中，∠B=45°，
∴BD=CD=

3

，
∴AB=AD+BD=3+

3

．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和解直角三角形．