Question

2．如图，已知抛物线y=x²+bx+c与直线y=x交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b²-4c＞0；
②3b+c+6=0；
③当x²+bx+c＞$\frac{2}{x}$时，x＞2；
④当1＜x＜3时，x²+（b-1）x+c＜0，
其中正确的序号是（　　）

• A． ①②④
• B． ②③④
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 由函数y=x²+bx+c与x轴无交点，可得b²-4c＜0；当x=3时，y=9+3b+c=3，3b+c+6=0；利用抛物线和双曲线交点（2，1）得出x的范围；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x²+bx+c＜x，继而可求得答案．

解答 解：∵函数y=x²+bx+c与x轴无交点，
∴b²-4ac＜0；
∴b²-4c＜0
故①不正确；
当x=3时，y=9+3b+c=3，
即3b+c+6=0；
故②正确；
把（1，1）（3，3）代入y=x²+bx+c，得抛物线的解析式为y=x²-3x+3，
当x=2时，y=x²-3x+3=1，y=$\frac{2}{x}$=1，
抛物线和双曲线的交点坐标为（2，1）
第一象限内，当x＞2时，x²+bx+c＞$\frac{2}{x}$；
或第三象限内，当x＜0时，x²+bx+c＞$\frac{2}{x}$；
故③错误；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x²+bx+c＜x，
∴x²+（b-1）x+c＜0．
故④正确；
故选C．

点评 本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．