如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠A=45°.AB=4cm．点P从点A出发.以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q.D为PQ中点.以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y(cm2).点P的运动时间为x(s)．(1)当点Q在边AC上时.正方形DEFQ的边长为xcm,(2)当点P不与点B重合� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm²），点P的运动时间为x（s）．

（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为xcm（用含x的代数式表示）；
（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；
（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；
（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．

分析（1）国际已知条件得到∠AQP=45°，求得PQ=AP=2x，由于D为PQ中点，于是得到DQ=x；
（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，由于D为PQ中点，得到DQ=x，求得GP=2x，列方程于是得到结论；
（3）如图②，当0＜x≤$\frac{4}{5}$时，根据正方形的面积公式得到y=x²；如图③，当$\frac{4}{5}$＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=$\frac{1}{2}$AB=2，根据正方形和三角形面积公式得到y=-$\frac{23}{2}$x²+20x-8；如图④，当1＜x＜2时，PQ=4-2x，根据三角形的面积公式得到结论；
（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，得到x=1，当Q为BC的中点时，BQ=$\sqrt{2}$，得到x=$\frac{3}{2}$，于是得到结论．

解答解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，
∴∠AQP=45°，
∴PQ=AP=2x，
∵D为PQ中点，
∴DQ=x，
故答案为：x；
（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，
∵D为PQ中点，
∴DQ=x，
∴GP=2x，
∴2x+x+2x=4，
∴x=$\frac{4}{5}$；
（3）如图②，当0＜x≤$\frac{4}{5}$时，y=S_{正方形DEFQ}=DQ²=x²，
∴y=x²；
如图③，当$\frac{4}{5}$＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵PQ=AP=2x，CK=2-2x，
∴MQ=2CK=4-4x，FM=x-（4-4x）=5x-4，
∴y=S_{正方形DEFQ}-S_△MNF=DQ²-$\frac{1}{2}$FM²，
∴y=x²-$\frac{1}{2}$（5x-4）²=-$\frac{23}{2}$x²+20x-8，
∴y=-$\frac{23}{2}$x²+20x-8；
如图④，当1＜x＜2时，PQ=4-2x，
∴DQ=2-x，
∴y=S_△DEQ=$\frac{1}{2}$DQ²，
∴y=$\frac{1}{2}$（2-x）²，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-2x+2；
（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，
即2x=2，
∴x=1，
当Q为BC的中点时，BQ=$\sqrt{2}$，
PB=1，
∴AP=3，
∴2x=3，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1＜x＜$\frac{3}{2}$．