Question

如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AO⊥BC于点E，AO=2．
（1）求∠AOD的度数；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：垂径定理,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）先根据垂径定理得出AF=BF，

AD

=

BD

，再由圆周角定理得出∠COE=2∠C，根据AE⊥BC即可得出结论；
（2）连结OB，根据垂径定理及圆周角定理得出∠AOB=2∠AOD=120°，OF=

1

2

AO=1，AB=2AF=2，再由S_阴影=S_扇形OAB-S_△OAB即可得出结论．

解答：解：（1）∵CD为直径，CD⊥AB，
∵AF=BF，

AD

=

BD

，
∴∠AOD=

AD

=

BD

=2∠C，
∵∠COE=∠AOF，
∴∠COE=2∠C．
∵AE⊥BC，
∴∠C=90°×

1

3

=30°，∠AOD=60°；

（2）连结OB，
∵∠AOB=2∠AOD=120°，OF=

1

2

AO=1，AB=2AF=2

3

∴S_扇形OAB=

120π×22

360

=

4

3

π，
S_△OAB=

1

2

AB•OF=

1

2

×2

3

×1=

3

，
∴S_△OAB=

4

3

π-

3

．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知垂径定理‘圆周角定理及扇形的面积公式是解答此题的关键．